Um estudo de um modelo para solução de problemas matemáticos (artigo)

Solução de problemas na Matemática:

Um estudo de um modelo para solução de problemas matemáticos

Maria Aparecida Toledo

UNIMESP - Centro Universitário Metropolitano de São Paulo

Novembro/2006

Sinopse: Este artigo trata sobre a resolução de problemas, onde é destacada a

diferença entre problemas e exercícios, tipos de problemas e diferentes áreas onde

pode se aplicar a utilização de problemas. Descreve sobre como resolver

problemas, enfocando um modelo com diferentes etapas no processo de resolução

dos mesmos.

Introdução

Quando falamos em resolução de problemas, a primeira coisa que lembramos são aqueles problemas matemáticos que nossa professora do primário nos ensinou a resolver.

Realmente a área onde mais aplicamos a resolução de problemas é a Matemática, mas nem só de Matemática vivem os problemas. Existe uma infinidade de situações em que nos deparamos com problemas a serem resolvidos que nada tem a ver com Matemática, por isso, muitas vezes não os relacionamos com problemas propriamente ditos, mas apesar de possuírem uma abordagem diferente, estas situações são classificadas como problemas, e deve-se analisar

especificamente cada abordagem a fim de escolher a estratégia mais adequada para a ocasião.

Em situações onde se têm um impasse a ser resolvido, deve-se analisar o contexto, as variáveis envolvidas, as possibilidades do desdobramento e então decidir qual é o caminho ideal a ser tomado. Tudo isso nada mais é senão uma estratégia utilizada para a resolução do problema apresentado, ou seja, do passe a ser resolvido.

Cada pessoa tem uma visão única que lhe permite relacionar todos os fatores envolvidos na resolução de um problema, pois além dos conhecimentos concretos necessários para a resolução do mesmo, não podemos esquecer que a percepção do todo envolvido, ou seja, como o resolvedor enxerga o contexto em que aquele problema específico foi inserido, têm um papel fundamental no desenvolvimento da estratégia escolhida para resolução. Há também o lado emocional, pois uma pessoa que não esteja em equilíbrio emocional, mesmo dominando os conhecimentos necessários, não será capaz de desenvolver um bom trabalho.

O texto a seguir além de nos apresentar os tipos de problemas e suas características, também nos mostra um modelo de resolução, no qual George Polya estabeleceu passos necessários no processo da resolução de problemas.

Mas não se deve esquecer que é apenas um modelo, e não uma fórmula obrigatória para se resolver todo e qualquer problema. O texto não tem a pretensão de ensinar a resolver problemas, mas sim o objetivo de mostrar novos caminhos e alternativas na busca de resultados que satisfaçam problemas propostos.

Definição de Problema

Um problema matemático é toda e qualquer situação onde é requerida uma descoberta de informações matemáticas desconhecidas para a pessoa que está tentando resolvê-lo, ou ainda, é o desenvolvimento da demonstração de um dado resultado matemático. O ponto principal é que a pessoa que vai resolver um problema terá de descrever estratégias novas, percorrer novos caminhos, ela até pode conhecer os objetivos a serem alcançados, mas desconhece os meios para

alcançar tais objetivos.

Pode-se definir assim um problema: situação em que devemos chegar a um objetivo em que não conhecemos o caminho a ser trilhado. De outra forma não seria um problema, mas sim a aplicação de conhecimentos previamente conhecidos.

Algumas características dos problemas:

_ O caminho da resolução é desconhecido;

_ Precisam ser analisados de varias formas diferentes, ou seja, esgotar todas as suas possibilidades;

_ Exigem paciência, pois devemos analisar até descobrirmos padrões, regularidades que permitam traçar estratégias de resolução;

_ Podem conter informações ocultas, que só percebermos se analisarmos corretamente as informações dadas;

_ Não têm uma resposta única: podemos nos deparar com situações em que existam várias maneiras de resolver o mesmo problema, outras em que não exista uma melhor solução ou até mesmo encontrar problemas sem solução, pois resolver um problema não é a mesma coisa de identificar somente a resposta.

Diferença entre problema e exercício.

É muito comum a dúvida entre a diferença de problemas e exercícios. Exercícios são atividades em que aplicamos conhecimentos e/ou habilidades jáconhecidos, ou seja, apenas utilizamos conhecimentos prévios para resolver situações semelhantes às que foram apresentadas anteriormente na ocasião do aprendizado. Exercícios envolvem apenas a reprodução de situações de aprendizagem já fixadas, enquanto o problema exige o desenvolvimento de novos

caminhos.

Classificação de problemas

Pode-se classificar os problemas em função da área à qual pertencem o seu conteúdo, e também em função do tipo de operações e processos necessários para sua resolução, por exemplo, podemos diferenciar entre problemas dedutivos e indutivos dependendo do raciocínio a ser utilizado.

Outro tipo de classificação que podemos utilizar é a de pensamento produtivo e reprodutivo, onde o primeiro consiste na produção de soluções novas a partir da organização ou reorganização dos elementos que compõe o problema e o reprodutivo consiste na reprodução de métodos já conhecidos. Esta definição é semelhante à diferença entre problema e exercício que falamos anteriormente.

Outra classificação que encontramos é entre problemas bem definidos e mal definidos. Problema bem definido é aquele em que identificamos rapidamente se foi alcançada a solução; por exemplo, qualquer problema de matemática escolar. Ao contrário deste, os problemas mal definidos não são propostos de forma clara e específica, pode-se encontrar várias soluções diferentes entre si, mas todas válidas como forma de resolver o problema proposto, por métodos também diferentes e igualmente válidos, por isso a dificuldade em saber se a solução foi ou não alcançada.

Pode-se dizer que nem todos os problemas são bem definidos, a estes denominamos exercícios, e também não existem os totalmente mal definidos a não ser que seja proposto algum problema cuja solução seja impossível. Mesmo que as diferenças entre os tipos de problemas apresentem divergências quanto aos procedimentos de resolução, podemos perceber que existe uma série de procedimentos e habilidades que são comuns a todos os problemas e todas as pessoas colocam em ação com maior ou menor competência.

Os problemas diferem-se também em relação às áreas de aplicação. Um problema da área de Ciências pode requerer estratégias de resolução diferentes de um outro problema da área de Humanas, por exemplo. Porque como os questionamentos são diferentes, os enfoques necessitam de análises mais específicas como veremos mais adiante.

Resolução de problemas como uma habilidade geral

Na resolução de qualquer problema precisamos colocar em ação diversas habilidades e conhecimentos. Essas habilidades e conhecimentos variam de acordo com o tipo de problema e também de pessoa para pessoa.

Em relação aos problemas por mais diferentes que possam ser apresentados, eles exigem capacidade de raciocínio e habilidades comuns, que se adaptam às características de cada tipo de problema.

Já em relação aos alunos ou qualquer outra pessoa que vá resolver um problema devemos levar em consideração as diferenças individuais, não apenas pela capacidade intelectual, mas principalmente pela experiência de aprendizagem, isto é, cada pessoa foi estimulada e ensinada de modo diferente, e isto acarreta que uns se adaptam mais facilmente que outros frente às tarefas propostas.

Quanto mais conhecimentos concretos uma pessoa tiver, melhor poderá compreender o problema e planejar sua resolução, além disso, determinadas técnicas podem ser ensinadas tornando o processo mais eficiente. Os programas e projetos que tentam ensinar a resolver problemas baseiam-se principalmente no projeto e na execução de estratégias.

George Polya, um estudioso sobre resolução de problemas, responsável pela maioria das pesquisas desse tema, apesar de ter seu trabalho fundamentado na solução de problemas matemáticos, recomenda ensinar estratégias usando problemas específicos de áreas diversas, o que facilitaria a generalização a diferentes campos do conhecimento e contribuiria para a formação de estratégias gerais.

Resolução de problemas como processo específico

Na proposição de um problema de um tema específico de conhecimento, se além de tentarmos aplicar somente um processo geral utilizado na solução de qualquer problema, levarmos também em conta a experiência e os conhecimentos específicos nessa determinada área, percebemos que a eficiência na solução do problema não depende somente da aplicação de estratégias ou habilidades gerais, válidas em qualquer situação, mas também dos conhecimentos específicos, úteis para solucionar esse problema.

Quando nos referimos aos conhecimentos específicos, queremos expressar que a experiência adquirida em qualquer área é de fundamental importância no auxilio da criação de novos caminhos na resolução de problemas específicos dessas áreas. Pois se dizemos que problema é toda e qualquer situação onde é requerida uma descoberta de informações desconhecidas para a pessoa que está tentando resolvê-lo, podemos dizer também que se temos conhecimentos prévios e experiência na área do assunto em questão, a tarefa de criar, descobrir novos caminhos na busca da solução do problema em questão, tende a ser mais leve e produtiva.

Transferência para solução de problemas cotidianos

Não é difícil para o professor fazer com que os alunos aprendam a aplicar determinado procedimento ou conceito no contexto de um problema determinado, o difícil é que aprendam a usá-lo de forma autônoma, transferindo espontaneamente para novos problemas conceitos que poderiam ser úteis.

O principal motivo da dificuldade desta transferência é a diferença existente entre os contextos em que o aluno aprende a resolver um problema e os contextos para os quais deve fazer a transferência.

Os contextos escolares costumam ser muito diferentes dos contextos sociais nos quais se pretende que os alunos apliquem os conhecimentos aprendidos. Ao que tudo indica para que os alunos enfrentem as tarefas escolares como verdadeiros problemas, é necessário que as mesmas tenham alguma relação com os temas de interesse dos alunos.

Grande parte dos problemas que os alunos resolvem em sala de aula, devido ao contexto de definição e execução, reduzem o processo a uma simples exercitação, onde o aluno vai se tornando mais ou menos especializado. Quando surge um problema cotidiano que é necessário resolver, o que aprendemos na escola costuma ser de pouca utilidade e quase nunca nos lembramos de algum problema resolvido que sirva de modelo na hora de aplicar nas situações do dia-adia. Nesse caso a primeira coisa a fazer é definir o problema, tomar decisões, escolher um caminho e decidir em que momento teremos atingido nosso objetivo.

Resolução de problemas em Matemática

A relação entre a matemática e a solução de problemas é sem dúvida algo que não é necessário justificar, pois durante muito tempo, ficou implícita entre crenças populares e determinados modelos pedagógicos, que quando um estudante dizia estar resolvendo algum problema, logo já se pensava que ele estava solucionando alguma tarefa relacionada à matemática.

O ensino da matemática representa um treinamento de estratégias de raciocínio e de pensamento, principalmente através da resolução de problemas, onde o aluno tem a oportunidade de colocar em prática todo seu conhecimento e capacidade intelectual para chegar aos objetivos desejados.

Como resolver problemas

Quando falamos em resolução de problemas, logo pensamos numa seqüência de regras, organizadas, que devemos seguir para alcançar uma solução. Existem realmente passos a serem trilhados dentro do processo da resolução, como veremos mais adiante, porém isso não garante a eficácia dos resultados que buscamos.

Existem conhecimentos importantes que devemos aplicar em conjunto à estratégia escolhida, no processo de resolução de problemas. Conhecimentos lingüísticos: entender o problema e traduzi-lo para uma linguagem matemática; conhecimentos semânticos: o conhecimento dos fatos do mundo, relacionando a idéia exposta no problema ao contexto da nossa realidade; e por último os conhecimentos esquemáticos: que consiste em classificar o problema e decidir qual estratégia/caminho deve ser aplicado para que determinado problema seja resolvido.

O conteúdo das tarefas, a sua relação com os conhecimentos adquiridos anteriormente e o contexto no qual esse problema está inserido, influem decisivamente na forma de como resolvê-los, por se tratar de uma série de fatores ligados ao processo de resolução de problemas.

Técnicas e estratégias para a solução de um problema

Independentes das tarefas a serem realizadas, algumas técnicas são imprescindíveis para melhor resolver um problema:

_ Expressar o problema com outras palavras

_ Representar o problema com outro formato (gráficos, desenhos, diagramas, etc.)

_ Indicar qual é a meta do problema

_ Verificar onde há maior dificuldade da tarefa, entre outras.

O processo da tradução do problema para a linguagem matemática é apenas o começo da solução do problema, mas é nela em que se executam as ações que mais se aproximarão da solução.

Quando falamos em estratégias para resolução de problemas temos que montar um plano para encontrar uma solução e executar esse plano, com isso concluímos que a organização do processo é fundamental para a resolução.

Estas estratégias incluem planejamento e organização das diferentes técnicas já aprendidas para encontrar uma meta desejada. Para a resolução de problemas não basta que o aluno conheça uma determinada técnica ou um determinado algoritmo para aplicá-lo na tarefa, pois isso não garante que ele irá conseguir resolver o problema somente com esse conhecimento.

Segundo Polya, a solução de um problema exige uma compreensão da tarefa, concepção de um plano que nos leve a uma meta, execução desse plano e uma análise que nos leve a determinar se alcançamos nossa meta, ou seja, nosso objetivo.

A seguir temos um esquema com as quatro etapas sugeridas por Polya apud Pozo (1998,p.23), em seguida algumas considerações que fizemos a respeito.

Compreender o problema _ Qual é a incógnita? Quais são os dados? _ Qual é a condição? A condição é suficiente para determinar a incógnita? É suficiente? Redundante? Contraditória? Conceber um plano _ Já encontrou um problema semelhante? Ou já ouviu o mesmo problema proposto de maneira um pouco diferente? _ Conhece um problema relacionado com este? Conhece algum teorema que possa lhe ser útil? Olhe a incógnita com atenção e tente lembrar um problema que lhe seja familiar ou que tenha a mesma incógnita, ou uma incógnita similar. _ Este é um problema relacionado com o seu e que já foi resolvido. Você poderia utilizá-lo? Poderia usar o seu resultado? Poderia empregar o seu método? Considera que seria necessário introduzir algum elemento auxiliar para poder utilizá-lo? _ Poderia enunciar o problema de outra forma? Poderia apresentálo de forma diferente novamente? Refira-se às definições. _ Se não pode resolver o problema proposto, tente resolver primeiro algum problema semelhante. Poderia imaginar um problema análogo um pouco mais acessível? Um problema mais geral? Um problema mais específico? Pode resolver uma parte do problema? Considere somente uma parte da condição; descarte a outra parte. Em que medida a incógnita fica agora determinada? De que forma pode variar? Você pode deduzir dos dados algum elemento útil? Pode pensar em outros dados apropriados para determinar a incógnita? Pode mudar a incógnita? Pode mudar a incógnita ou os dados, ambos, se necessário, de tal forma que a nova incógnita e os novos dados estejam mais próximos entre si? _ Empregou todos os dados? Empregou toda a condição? Considerou todas as noções essenciais concernentes ao problema? Execução do problema _ Ao executar o seu plano de resolução, comprove cada um dos passos. _ Pode ver claramente que o passo é correto? Pode demonstrá-lo? Visão retrospectiva _ Pode verificar o resultado? Pode verificar o raciocínio? _ Pode obter o resultado de forma diferente? Pode vê-lo com apenas uma olhada? Você poder empregar o resultado ou o método em algum outro problema?

Como vemos, segundo Polya, o primeiro passo é compreender o problema, ou seja, entender a situação e querer buscar uma solução que satisfaça suas condições. Devemos primeiramente compreender a linguagem, em seguida nos situar em relação aos conhecimentos prévios que possam ser aplicados no processo.

Após termos compreendido o problema, devemos traçar um plano para alcançar os resultados que satisfaçam a situação. Esses planos e metas podem ser chamados de estratégias de solução de problemas, e os procedimentos usados para a execução desses planos podem ser chamados de regras, algoritmos ou operações.

Existe uma grande variedade de estratégias disponíveis que qualquer pessoa pode utilizar na resolução de problemas, desde o método de tentativa e erro, até os métodos mais complexos e elaborados.

Depois de ter sido traçado o plano, o terceiro passo é a execução desse mesmo plano, ou seja, desenvolver o que havia sido planejado e transformar o problema através do algoritmo que mais se adequar na situação em questão.

Não é de se estranhar se nessa etapa, o problema original transformar-se em outro problema, nesse caso é necessário traçar um novo plano na tentativa de satisfazer o novo problema, ou seja, adequar o plano anterior para uma nova situação. Isso é mais comum do que se imagina, pois se estamos resolvendo um problema, significa que se trata de uma situação desconhecida, por isso deve ser analisada e adequada no decorrer do processo, de forma a dar continuidade na busca da solução do problema inicial.

E por último, executamos o quarto passo que é não somente chegar na solução do problema, mas também checar sua validade, ou seja, analisar a resposta obtida e verificar se ela satisfaz as condições iniciais do problema proposto. Essa verificação deve ocorrer para que se evite cometer erros de se apresentar respostas erradas como solução de um problema.

Estas fases de solução têm sido consideradas como métodos gerais de solução de problemas, independente da área a ser considerada, e nem sempre sua aplicação garante uma resolução satisfatória, pois nem todas as pessoas conseguem realizar corretamente todas as etapas, seja por falta de conhecimentos concretos, seja por impaciência na busca de um caminho mais objetivo. Mas independente do algoritmo escolhido para a resolução do problema a que se propuser resolver, com base nestes quatro passos, fica mais fácil o planejamento e execução da estratégia de resolução.

Conclusão

Depois de analisar sob vários aspectos o processo da resolução de problemas, podemos fazer algumas considerações:

_ Um problema só pode ser considerado problema se apresentar uma situação nova, de caminho desconhecido, que exija a aplicação de técnicas e estratégias para sua resolução, do contrário será apenas a resolução de algum algoritmo já conhecido, ou seja, apenas um exercício.

_ Ensinar a resolver problemas matemáticos não é uma tarefa fácil, pois engloba vários conhecimentos que devem ser estimulados para um melhor raciocínio do aluno, incentivando-o nas suas pequenas atuações acompanhando todo o processo para a resolução de problemas e não só verificando resultados finais.

_ A escolha da estratégia adequada no processo de resolução de problemas é de suma importância, pois dela depende todo o sucesso para se chegar à solução desejada.

Enfim, a resolução de problemas é um assunto fascinante e engloba vários fatores para se chegar à solução desejada, e para que alcancemos com sucesso nossos objetivos iniciais, devemos olhar com muito carinho cada situação nova que se apresente e aplicar as técnicas e estratégias que sejam mais adequadas para sua resolução.

Problematizar as diversas situações e contextualizá-las no ambiente do resolvedor de problemas, dar a devida importância a escolha da estratégia adequada, enfim percorrer todos os passos desse processo, não por obrigação ou dever, mas sim por vontade de romper barreiras e ultrapassar obstáculos que estejam no caminho.

Quando a renovação e o enriquecimento do conceito de problemas tornarem-se acessíveis a um número cada vez maior de pessoas, perceberemos que através de um trabalho que envolva planejamento e leve em consideração o contexto em que as situações problemáticas estão inseridas, formaremos pessoas com raciocínio e capacidade de resolver problemas sejam eles de quais áreas forem.

Aprender a resolver problemas é não somente cumprir as quatro etapas mostradas neste artigo, mas analisar cada problema individualmente e saber quando, como, porque e para quê resolvemos problemas, saber identificar os objetivos e como alcançá-los, enfim ter consciência de todo o processo, e não apenas aplicar técnicas e estratégias para encontrar respostas imediatistas

Esperamos que este artigo possa despertar o interesse de outras pessoas por este assunto tão fascinante e ainda tão pouco explorado pela maioria das pessoas. È apenas o primeiro passo nesse processo tão complexo que envolve tantas variáveis, mas que é gratificante para aqueles que conseguem chegar até o final com a sensação de dever cumprido.

Referências Bibliográficas

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