Ubiratan D’Ambrosio
ubi@usp.br
O objetivo dessas reflexões é entender
• O QUE SIGNIFICA UM PROBLEMA?;
• O QUE SIGNIFICA RESOLVER UM
PROBLEMA?;
• E POR QUE RESOLVER PROBLEMAS?
Como uma definição:
PROBLEMA é uma situação, real ou abstrata, ainda não resolvida, em qualquer campo de conhecimento e de ação.
RESOLVER UM PROBLEMA é superar um desafio específico. A superação do desafio se dá no momento em que o desafio se apresenta, gerando uma solução ad hoc, com o objetivo de superar o desafio específico.
A busca de estratégias de superação é a aventura da espécie humana. uma dessas estratégias é a etnomatemática.
Contemplo problemas em qualquer campo de conhecimento e de ação.
Questões maiores, existenciais, ambientais, sociais e do cotidiano, questões específicas em uma disciplina questões de natureza lúdica (brinquedos e jogos). A história nos mostra que todas estão em relação simbiótica.
Um desafio: realizar essa simbiose na educação matemática.
Uma resposta ao desafio: formular problemas ligados a uma situação real
⇛ criação e desenvolvimento de novas práticas e teorias matemáticas. propostas: modelagem, jogos e brinquedos, “ problem posing” , etnomatemática, ...
O PROBLEMA MAIOR:
Viver com dignidade e em paz, satisfazendo necessidades materiais e espirituais, e garantindo um futuro para as gerações seguintes.
Sem futuro não se justifica falar em educação.
Matemática tem algo a vercom isso?
Acredito que tem tudo a ver.
Educação matemática pode ser orientada para resolveresse problema maior?
Acredito que sim.
Viver é resolver problemas.
A evolução da espécie humana está identificada com a resolução de problemas, a partir do problema fundamental e indispensável, que é manter a vida.
É próprio do ser humano identificar uma situação/problema, e procurar uma solução. A evolução da espécie humana está identificada com a superação dos desafios para sobreviver e para transcender, em espaço e tempo.
Uma proposta pedagógica:
Facilitar esse processo, provocando reflexões dos alunos sobre o triângulo primordial.
Repetindo: resolver um problema é superar um desafio específico. A superação do desafio se dá no momento em que o desafio se apresenta, gerando uma solução ad hoc , com o objetivo de superar o desafio específico.
Ad hoc ↝métodos↝teoria↝invenção a repetição de desafios do mesmo tipo ou “próximos” dá origem a métodos. As teorias permitem explicar os métodos e facilitam criar o novo (invenção).
Um programa de pesquisa
× como se dá a passagem de uma solução ad hoc para um método?
× como se passa de métodos a teorias?
× como se passa das teorias à invenção?
A solução ad hoc Responde a estímulos do ambiente concreto [natureza, outro, sociedade, necessidades materiais] e abstrato [memória – INDIVIDUAL E COLETIVA – mitos, símbolos, fantasias, expectativas, crenças e conhecimentos comunitários].
O ambiente é dinâmico, em permanente transformação.
Como se chega ao método?
O método é individual/cultural.
× é gerado pelo indivíduo e socializado?
ou
× é simplesmente apreendido?
ou
× é adaptado e transformado pelo indivíduo?
Os métodos são muito abertos e impregnados de fatores ambientais, no sentido amplo: naturais, sócioculturais, emocionais. Há um componente de aprender e outro de transformar (criando um método novo ou variante).
Esses componentes se dão numa dinâmica de encontros culturais.
Educação é lidar com a dinâmica de
Encontro de duas culturas.
Duas culturas:
§ a cultura do ensinante/pais/ “velhos” e
§ a cultura do aprendente/filhos/ “jovens”.
A questão maior para se propor uma teoria sobre resolução de problemas é:
× como integrar os conhecimentos, adquiridos por via formal e informal, na resolução de uma situação/problema?
EXEMPLO DE MÉTODO: René Descartes, Discurso do Método, 1637: “Quando era mais jovem, eu estudara um pouco de filosofia, de lógica, e, das matemáticas, a analise dos geômetras e a álgebra, três artes ou ciências que pareciam poder contribuir com algo para o meu propósito. No entanto, analisando-as, percebi que, quanto à lógica, seus silogismos e a maior parte de seus outros preceitos servem mais para explicar aos outros as coisas já conhecidas, ou mesmo para falar, sem formar juízo, daquelas que são ignoradas, do que para aprendê-las.
No que concerne à análise dos antigos e à álgebra dos modernos, além de se estenderem apenas a assuntos muito abstratos, e de não parecerem de utilidade alguma, a primeira permanece sempre tão ligada à consideração das figuras que não pode propiciar a compreensão sem cansar muito a imaginação; e, na segunda, esteve-se de tal maneira sujeito a determinadas regras e cifras que se fez dela uma arte confusa e obscura que atrapalha o espírito, em vez de uma ciência que o cultiva. Por este motivo, considerei ser necessário buscar algum outro método que, contendo as vantagens desses três, estivesse desembaraçado de seus defeitos.
Achei que me seriam suficientes os quatro seguintes:
O primeiro era o de nunca aceitar algo como verdadeiro;
O segundo, o de repartir cada uma das dificuldades que eu analisasse em tantas parcelas quantas fossem possíveis e necessárias a fim de melhor solucioná-las;
O terceiro, o de conduzir por ordem meus pensamentos, iniciando pelos objetos mais simples e mais fáceis de conhecer, para elevar-me, pouco a pouco;
E o último, o de efetuar em toda parte relações metódicas tão completas e revisões tão gerais nas quais eu tivesse a certeza de nada omitir.
Dos métodos às teorias.
A teoria está associada a explicações.
“seria vergonhoso para alguém exercer qualquer arte e não saber o que ela é, de qual assunto ela trata e as outras coisas que dela são prometidas”
(Dominicus Grandissalinus, séc.XV).
Exercer qualquer arte ≈ MÉTODO
Saber o que ela é ≈ TEORIA
Uma reflexão focalizada: solução de problemas, como área de pesquisa em educação matemática.
Ao longo da história, problemas têm sido usados como veículo para ilustrar e motivar teorias. Assim aparecem nas fontes egípcias e babilônicas. O “data” de Euclides, que pode ser considerado o manual pedagógico de apoio aos elementos , é uma coleção de problemas.
Na alta idade média européia essa característica parece ter desaparecido, mas elas prevaleceram no mundo islâmico/judaico e foram incorporadas à Europa cristã na baixa idade média, após as cruzadas.
EXEMPLOS:
Livro de Naim ibn Muhammad ibn Musa, sobre as proposições geométricas ,
séc.IX.
Livro do tratado de medição e cálculo , do Rabino Abraam bar Hiia, séc.XI.
Liber Abaci , de Leonardo Fibonacci, séc.XII.
Tractatus Algorismi , de Jacopo da Firenze, séc.XIV.
A resolução de problemas incorporou-se ao ensino como estratégias para ilustrar teorias.
Por exemplo, a obra Aufgaben und Lehrsätze aus der Analysis, do grande Georges Pólya (18871985) com seu discípulo Gabor Szegö (1925), é um livro de análise ensinada a partir de problemas.
Esse é também o objetivo do Elementos de Álgebra , de Euler.
Na educação, um marco é o livro George Pólya: How to Solve It, 1945
Uma observação simplista e ingênua sintetiza os preceitos de Pólya em quatro passos:
• entender o problema;
• elaborar um plano;
• desenvolver o plano;
• verificar se o que foi feito respondeu ao problema.
A contribuição de Pólya à área é bem mais ampla. particularmente sobre heurística, considerada como a arte de inventar e fazer descobertas. Muitas pesquisas importantes e muito bem elaboradas têm sido feitas sobre o tema, avançando enormemente as idéias de Pólya e de outros.
Os preceitos de Pólya têm sido tomados como um método e muitas propostas, variantes desses preceitos têm se tornado populares, e são comuns em muitos manuais e cursos de matemática.
Sempre na forma afirmativa (dogmática):
“COMO RESOLVER PROBLEMAS”
Sem “?” – não é uma pergunta
Muitas teses foram e continuam sendo defendidas sobre resolução de problemas no quadro geral proposto por Pólya.
Inúmeros cursos são oferecidos e nota-se, nas salas de aula, muita inovação.
Mas os baixos resultados nos testes são decepcionantes.
Temas “testáveis”: o busilis versus temas de interesse geral. Voltamos a uma proposta já feita: realizar a simbiose de questões maiores, existenciais, ambientais, sociais e do cotidiano (desafiadoras) e questões específicas em matemática.
Essa simbiose é abordada em uma longa pesquisa com alunos na graduação e na pós-graduação sobre suas motivações para a escolha da matemática como uma carreira.
Todos mencionam uma revelação interna, envolvendo considerações estéticas, metafísicas e espirituais.
Ver: KLAUS G. WITZ: Spiritual aspirations connected with mathematics: the experience of American University students , The Edwin Mellen Press, Lewiston NY, 2007.
Para finalizar: como está o mundo hoje? Somos matemáticos, como nossa competência se relaciona com os problemas maiores?
Esse é o maior problema a ser resolvido.
“Temos que aprender a pensar de uma outra forma. Temos que aprender a perguntar a nós mesmos que passos podemos dar”
Bertrand Russell and Albert Einstein, Manifesto Pugwash, 1955.
Será possível um novo pensar em educação matemática?
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